摘要
关在代数解方面，拉格朗日研究的贡献和影响是相当大的。一方面，他继承和总结了前人的成就，通过对卡尔达诺、费拉里、车恩豪斯等数学家的求解三次和四次方程的方法进行详细地分析、总结，提出了置换思想，用置换思想去求解三次、四次方程，并深入对置换思想的内涵进行研究，以期用这种思想去求解五次以上的高次方程。另一方面，他还利用曲线来研究代数多项式方程的解，并进行了一系列程序的探索。本文主要介绍了拉格朗日在代数求解方法上的探索经历，以及对置换思想的深入研究，及其在代数方程上的应用。拉格朗日为代数学打开了一扇大门，置换思想的提出为代数学的前进提供了动力，为代数学研究提供不可估量的新的内容，开启了数学研究的新纪元。
键关键
你关键词：拉格朗日，置换思想，辅助方程
1 绪言
1.1 Lagrange代数方程求解的理论背景
代数方程已经历几千年的发展，它的每一次发展都经历了许多曲折，每个转折都会有新的进步内容，且伴有关键性人物的出现，拉格朗日就是其中贡献最大的一位数学家。正是因为拉格朗日对代数方程解的研究才有今天的代数成果。所以在代数学上，拉格朗日起到了关键性作用。他的思想改变了传统只用单纯求解代数方程解的方法。其他数学家虽然用各种各样方法求解了三次和四次方程，但是他们只限于求出代数方程的求根公式，而拉格朗日则在总结和归纳数学家代数理论成就的基础上提出了置换思想，用置换思想置换出比原方程次数更低的容易求解的辅助方程，然后求解原方程的根。他的置换思想影响了后来的欧拉、车恩豪斯、阿贝尔、伽罗瓦、卡尔达诺、费拉里等人的研究，为代数学的前进打开了一条宽敞的道路。可以毫不夸张的说，拉格朗日是近代数学的创始人。
莱茵德的稿书里提及到的一元一次方程，当时埃及人给出了解法，他们用的方法是“假位法”，同时也出现了简单的二次方程。古巴比伦人的版书表明，他们已经求出一元二次方程的求解公式，后来印度人使用配方法解出了一元二次方程。公元3世纪中国著名数学家赵爽得出了一元二次的求根公式。大约在1500年，波罗尼亚数学家费罗求解出了类似于的三次代数方程，在他之后，一些数学家甚至解出了一元四次代数方程。
其实，一元代数方程的求解不能顺利前进的主要原因是数系的发展。好多数学家不承认负数是数。笛卡尔只是承认了部分负数。好多数学家在求解方程跳过负根。所以负根的这种现象阻碍了代数方程的继续发展。当然无理数和虚数也是同样的情况。到1500年，数学家们已经很随便使用无理数，但是对无理数的存在意义仍然不能确定。对于复数，好多数学家也不承认它的存在，甚至连伟大物理学家牛顿也认为复数没有意义。其实拉格朗日也提到了虚根，但是这不影响他对代数学的研究。当然随着实数理论的建立，无理数、复数、负数也得到数学界的承认，代数方程也随着数系逐渐完善。许多数学家尝试着用各种方法去求解三次和四次方程，并且试着解五次以上的代数方程。
拉格朗日之前已有人求出代数方程的求根公式。车恩豪斯、欧拉等人的求解方法已经接近高次方程的求解。克莱恩的《古今数学思想》里也详细的分析了代数方程三次和四次的求解方法。同时，他也指出拉格朗日在求解高次方程遇到障碍。虽然拉格朗日没有求解出五次以上的代数方程，但却给代数方程赋予了新的内容。其两大贡献是：1.观察到根的置换与原方程解的关系；2.他也是第一个注意到求解高次方程需要借助于辅助方程的人。
1.2 Lagrange代数方程的求解的历程
在1795年，一位法国著名数学家——拉格朗日给欧洲一位数学巨人——伦纳德·欧拉写了一封信。在信里，他说明了他的发现是关于一个规范微积分。拉格朗日早期关于对数学性质的研究对欧拉有是影响的，并且拉格朗日在代数学上的早期研究对后来拉格朗日生涯的建立是有帮助的。拉格朗日联合了18世纪数学家中排名第一的欧拉，因为他们的成就和研究经常是有关联的。拉格朗日的代数学工作也是他的另一个研究，被欧拉强烈影响，但是即使是在这个伟大模型的外表下，拉格朗日仍保持了独创性，这就允许他去批判，而且总结、系统化和深化其他数学家的思想和解题技术。
在他尝试着继续总结其他数学家的成就里，拉格朗日的研究是属于分析性的。的确，拉格朗日早期的一个传记作家认为，如果拉格朗日信任任何情况的话，那么他会“坚定相信分析的优越性”。在拉格朗日代数稿纸里，这种分析方法确实很清楚。在1766年，当拉格朗日在欧拉成功的柏林学院任职期间，这些方法的许多稿纸被打印出版。另外，在1787年，拉格朗日移居到巴黎科学院后，关于方程数字解的一个长篇论文出版了。
拉格朗日在整个代数求解的理论里的位置是无人可取代的，他的理论不仅是伽罗瓦理论的源泉，而且对伽罗瓦、阿贝尔、高斯等数学家的进一步研究起到促使作用。拉格朗日在方程理论方面的研究可划分为两类：多项式方程的代数解（就代数方程的系数和根而言）和特殊方程数值解技术。正如拉格朗日在名著《论任意阶数值方程的解》前言中解释的一样，这两类被认为是不同的：区分代数方程解是必须的，这种方程的数值解在代数上称为方程一般解。
拉格朗日把关于代数方程数值求解的研究工作当作他数学研究的一个重大部分，并且值得数学家们的注意。由于他的代数求解理论的独特创新特征和早期它在群论发展中的角色，拉格朗日有关代数方程通过根的求解方面的稿纸在第二文学中已经引起相当大的注意。他在数值求解技术和原理方面的工作引起的注意相对少，也许是因为在场论里拉格朗日不能用这个例证去巩固各种各样的方法和步骤，不像他在代数解方面的成功。然而，在这两个领域里，拉格朗日的研究值得学习，并且作为18世纪末数学的一个反射和拉格朗日在数学上的理论和实践问题的一个例证。
2 多项式方程代数解
2.1 Lagrange代数方程解的发展
拉格朗日对前人的成果进行总结，提出了自己的思想，也就是置换思想。他用置换思想降低原方程次数，得到了比原方程次数更低且容易求解的辅助方程。他用这种思想求解了三次和四次代数方程的解，这其他数学家对代数方程三次和四次的求解的本质是相同的，他还尝试用置换思想求解五次以上的代数方程，并详细讨论了多项式方程的置换思想，但最后却以失败告终。但是他的置换思想对鲁菲尼的代数研究影响很大，鲁菲尼是第一个提出五次方程没有一般代数解。置换思想也影响了高斯，使高斯解出了分圆方程。伽罗瓦理论的出现，也归功于拉格朗日置换思想的出现。在代数方程上，拉格朗日给了后来数学家一个极大地帮助。
到1700年，寻求解决代数方程的一般解已经耗费了两个世纪杰出数学家的心血。然而，莱布尼茨在这个时候叙述了代数技术上的范围，很显然对于高次方程是失败的。建立在这两个世纪的成功和失败上，在1770年到1771年，拉格朗日在方程代数解上利用了恰当的一元运算。拉格朗日同时代的一位历史学家吉恩·艾蒂安称1770年到1771年的回忆录是对这个重要问题的最美丽最完善的处理时期。吉恩·艾蒂安断言，如果完全解总是被得到，拉格朗日的贡献最大。
拉格朗日在代数上作出的贡献已经引起一些学者们的注意，但是他们的研究局限于目的和范围：他们不仅仅集中在拉格朗日工作包含的群论预算上，而且还集中在拉格朗日方法学的哲学基础上。尽管他们的研究对拉格朗日代数上的理解作出了很大贡献，然而这个第二文学不能满足数学历史学家，其原因有两个：第一，群论起源的研究在拉格朗日方程理论里对它们的引荐被高度选择。第二，篇幅有限和说明不清楚导致在拉格朗日代数上大部分的注解对三次方程的实例是限制的。由于拉格朗日在四次方程上投入很多注意，并且他的客观陈述不能发现群论，对原作品来说，第二文学不是完全可靠的。拉格朗日代数方程理论一个更完善的研究被证明。
发表评论：